Дано:
- Четырёхугольник ABCD, где углы ABD и ACD прямые.
- АН = CD, где H - точка на стороне BC.
Найти:
- Доказать, что диагонали AC и BD равны: AC = BD.
Решение:
1. Обозначим угол ABD как 90°, а угол ACD также как 90°.
2. В треугольнике ABD применяем теорему Пифагора для нахождения длины стороны AB:
AB^2 = AD^2 + BD^2.
3. В треугольнике ACD применяем теорему Пифагора для нахождения длины стороны AC:
AC^2 = AH^2 + CD^2.
4. Поскольку АН = CD, можно выразить AH через CD:
AH = CD.
5. Подставляем это значение в уравнение для длины AC:
AC^2 = CD^2 + CD^2 = 2 * CD^2.
6. Теперь рассмотрим треугольник BCD. Углы BCD и BDC прямые, следовательно, можно применить теорему Пифагора и для него:
BD^2 = BC^2 + CD^2.
7. Так как CD = AH, то можно сказать, что высота AH является общей для треугольников ABD и ACD.
8. Находясь в одном и том же положении относительно оснований, высоты из одной точки (A) будут одинаковы, и происходит равенство по соответствующим сторонам.
9. Таким образом, мы можем утверждать, что:
AC = BD.
Ответ:
Диагонали четырёхугольника ABCD равны: AC = BD.