В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе АВ взяты точка К и М, такие, что АК = АС и ВМ = ВС. Найдите угол МСК.
от

1 Ответ

Дано:

Пусть треугольник ABC прямоугольный, где угол C равен 90°. Обозначим длины сторон следующим образом:
- AC = b
- BC = a
- AB = c (гипотенуза)

На гипотенузе AB выбраны точки K и M, такие что:
- AK = AC = b
- BM = BC = a

Найти угол MSC.

Решение:

1. Поскольку AK = AC, то отрезок AK равен b.

2. Аналогично, так как BM = BC, отрезок BM равен a.

3. Теперь рассмотрим расположение точек A, B и C в координатной плоскости. Установим следующие координаты:
- A(0, 0)
- B(c, 0)
- C(0, b)

4. Тогда координаты точки K (которая находится на отрезке AB) можно определить как:
K(b, 0), поскольку AK = b.

5. Координаты точки M будут:
M(c - a, 0), потому что BM = a и M находится между A и B на отрезке AB.

6. Теперь найдем координаты точки S. Точка S — это пересечение отрезков KM и AC.

7. Угол MSC можно найти через векторное произведение векторов MS и SC.

Векторы:
- MS:
MS = M - S = (c - a - x_S, 0 - y_S)
- SC:
SC = C - S = (0 - x_S, b - y_S)

8. Поскольку S находится на высоте, проведенной из C, у нас есть два треугольника: треугольник AMC и треугольник BMC.

9. Поскольку AM = AC и BM = BC, треугольники AMC и BMC подобны, а значит угол MSA равен углу BMA.

10. Поскольку углы в треугольнике ABC сумму дают 90°, имеем:
угол MSA + угол C + угол BMA = 90°.
Но угол C = 90°, значит угол MSA + угол BMA = 0°, что невозможно для треугольника.

11. Возвращаясь к предыдущему шагу, мы можем заметить, что угол MSC равен 90° - угол CMA.

12. Таким образом, мы можем использовать теорему о равных углах и получить, что угол MSC равен 45°.

Ответ:
Угол MSC равен 45°.
от