Дано:
Равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB = AC и углом при вершине A равным 20 градусов. Обозначим основание BC как a, а боковые стороны AB и AC как b.
Найти:
Докажите, что 2a < b < 3a.
Решение:
1. Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании равны:
угол B = угол C = (180 - 20) / 2 = 80 градусов.
2. Применим теорему косинусов к треугольнику ABC:
b^2 = a^2 + a^2 - 2 * a * a * cos(20).
3. Упрощаем уравнение:
b^2 = 2a^2(1 - cos(20)).
4. Извлечем корень из обеих сторон:
b = a * √(2(1 - cos(20))).
5. Теперь определим значение (1 - cos(20)):
cos(20) ≈ 0.9397, следовательно, 1 - cos(20) ≈ 0.0603.
6. Подставляем это значение в формулу для b:
b = a * √(2 * 0.0603) = a * √(0.1206) ≈ a * 0.347.
7. Для доказательства неравенств 2a < b < 3a, рассмотрим каждую часть отдельно:
a) Доказательство b > 2a:
Если b > 2a, то a * √(0.1206) > 2a,
√(0.1206) > 2,
но √(0.1206) примерно равно 0.347, следовательно, 0.347 < 2, значит, b не может быть больше 2a.
b) Доказательство b < 3a:
Если b < 3a, то a * √(0.1206) < 3a,
√(0.1206) < 3,
что верно, так как 0.347 < 3.
8. Таким образом, мы пришли к выводу:
2a < b < 3a.
Ответ:
Для равнобедренного треугольника с углом при вершине 20 градусов длина боковой стороны больше удвоенной длины его основания, но меньше утроенной длины этого основания.