Дано:
Отрезки AB и CD, длины которых равны 1 (AB = 1, CD = 1), пересекаются в точке O при угле ∠AOC = 120°.
Найти:
Докажите, что AC + BD > 1.
Решение:
1. Обозначим точки A, B, C и D так, что O — это точка пересечения отрезков.
2. Мы будем использовать векторы для анализа расстояний. Пусть AO и CO направлены вдоль оси x, а точка O является началом координат.
3. Позиционируем точки:
- A(0, 0) и B(1, 0) (отметим, что AB = 1).
- Угол ∠AOC = 120°, следовательно, угол ∠AOB = 60°.
4. Положение точки C:
Поскольку отрезок OC также равен 1, то его координаты можно определить как:
C = (cos(120°), sin(120°)) = (-1/2, √3/2).
5. Теперь определим положение точки D.
Поскольку CD тоже равен 1, точка D находится на том же расстоянии от O, но в другой стороне. Угол ∠COD равен 240° (так как 120° + 120° = 240°):
D = (cos(240°), sin(240°)) = (-1/2, -√3/2).
6. Теперь вычислим длины отрезков AC и BD:
AC = distance(A, C) = sqrt((0 - (-1/2))^2 + (0 - √3/2)^2) = sqrt((1/2)^2 + (√3/2)^2) = sqrt(1/4 + 3/4) = sqrt(1) = 1.
BD = distance(B, D) = sqrt((1 - (-1/2))^2 + (0 - (-√3/2))^2) = sqrt((3/2)^2 + (√3/2)^2) = sqrt(9/4 + 3/4) = sqrt(12/4) = sqrt(3).
7. Теперь мы можем выяснить сумму AC + BD:
AC + BD = 1 + sqrt(3).
8. Так как sqrt(3) > 1, имеем:
AC + BD > 1 + 1 = 2.
Ответ:
Сумма AC + BD больше 1, что доказывает, что AC + BD > 1.