Дано:
Пусть треугольники ABC и DEF подобны, коэффициент их подобия равен k. Это означает, что отношения длин соответствующих сторон этих треугольников равны:
AB / DE = AC / DF = BC / EF = k.
Найти:
Докажите, что высоты AH и DK, проведенные из соответствующих вершин A и D, относятся как коэффициент подобия этих треугольников.
Решение:
1. Обозначим длины сторон треугольников ABC и DEF соответственно как a, b, c и d, e, f, где a = BC, b = CA, c = AB, d = EF, e = FD, f = DE.
2. Высота AH в треугольнике ABC, проведенная из вершины A, вычисляется по формуле:
AH = (2 * S) / BC,
где S — площадь треугольника ABC и BC — основание, к которому проведена высота.
3. Площадь S треугольника ABC можно выразить через стороны и угол между ними:
S = 0.5 * AB * AC * sin(A).
4. Аналогично, высота DK в треугольнике DEF, проведенная из вершины D, вычисляется по формуле:
DK = (2 * S') / EF,
где S' — площадь треугольника DEF и EF — основание, к которому проведена высота.
5. Площадь S' треугольника DEF также выражается через стороны и угол между ними:
S' = 0.5 * DE * DF * sin(D).
6. Так как треугольники ABC и DEF подобны, то угол A равен углу D. Также, поскольку стороны треугольников относятся как коэффициент подобия k, можно записать:
DE = k * AB,
DF = k * AC,
EF = k * BC.
7. Подставим эти значения в формулы для высот:
AH = (2 * S) / BC
= (2 * (0.5 * AB * AC * sin(A))) / BC
= (AB * AC * sin(A)) / BC.
DK = (2 * S') / EF
= (2 * (0.5 * DE * DF * sin(D))) / EF
= (DE * DF * sin(D)) / EF
= (k * AB * k * AC * sin(A)) / (k * BC)
= (k^2 * AB * AC * sin(A)) / (k * BC)
= k * (AB * AC * sin(A)) / BC.
8. Таким образом, мы можем утверждать, что:
AH / DK = 1 / k.
Ответ: Высоты подобных треугольников, проведённые из соответственных вершин, относятся как коэффициент подобия этих треугольников.