Дано:
Пусть ABCD - выпуклый четырёхугольник, точка M - середина стороны AB. Диагонали AC и BD пересекаются с отрезками DM и CM в точках P и Q соответственно. Известно, что угол RAM равен углу MDA, а точка пересечения отрезков AQ и BR равноудалена от точек A и B.
Найти:
Докажите, что угол QBA равен углу MCB.
Решение:
1. Обозначим угол RAM = угол MDA = alpha. Это означает, что треугольники AMP и AMD подобны по углам (из одного общего угла и двух равным углам).
2. Рассмотрим треугольник AMB. Поскольку M - середина AB, то AM = MB. Таким образом, треугольник AMP равнобедренный, и следовательно, угол MAP = угол MBP = beta.
3. Теперь рассмотрим треугольник CMD. Поскольку DM и CM пересекают AC в точке Q и PD в точке P, получаем угол CMA = угол CAB = gamma.
4. Поскольку AQ и BR равноудалены от A и B, мы можем сказать, что точки Q и R делят отрезок AB пополам. Это означает, что:
- AQ = BR.
5. Учитывая равенство углов, существование равнобедренного треугольника и их равные отрезки, заключаем, что угол QBA = угол MCB.
6. При этом используем равенство углов и свойства равнобедренных треугольников, что подтверждает следующее:
- Угол QBA = угол MAC и угол MCB = угол MAD.
7. Поскольку угол QBA = угол MCB, то они равны.
Ответ:
Угол QBA равен углу MCB.