Дано:
Трапеция ABCD с основанием AB и CD, где биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M на стороне BC.
Найти:
а) Доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
б) Доказать, что основание HC равно сумме боковых сторон трапеции.
Решение:
а) Для доказательства того, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD, воспользуемся свойством биссектрисы.
1. Биссектрисы углов в треугольнике разделяют углы пополам. Это означает, что угол AMB равен углу CMD, так как угол AOD (где O - точка пересечения) делится пополам.
2. Аналогично, угол DMC равен углу BMA.
3. Из этого следует, что при пересечении биссектрис в точке M она будет находиться на одинаковом расстоянии от всех сторон, образованных углами A и D. Это свойство определяет, что M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
Таким образом, M равноудалена от всех трёх указанных прямых.
б) Теперь докажем, что основание HC равно сумме боковых сторон трапеции AB и CD.
1. Обозначим длины боковых сторон AB и CD как a и b соответственно.
2. В силу того, что M — это точка, равноведущая от боковых сторон трапеции, а также то, что BC и AD являются параллельными, можно сказать, что:
HC = AB + CD.
3. Подставив значения, получаем:
HC = a + b.
Таким образом, мы подтверждаем, что длина основания HC равна сумме боковых сторон трапеции.
Ответ:
а) Точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
б) Основание HC равно сумме боковых сторон трапеции.