Дано:
AD = 25, BC = 15, CF:DF = 3:2.
Найти:
Длину отрезка EF.
Решение:
1. Обозначим длину основания AB как x и длину основания CD как y.
2. Из условия CF:DF = 3:2 следует, что если CF = 3k, то DF = 2k. Тогда общая длина CD:
CD = CF + DF = 3k + 2k = 5k.
3. Теперь нам нужно найти соотношение между основаниями AB и CD.
4. Используем свойство, что через точку, где пересекаются диагонали трапеции, проходит прямая, параллельная основаниям. В этом случае:
EF / AB = AD / (AD + BC).
5. Подставим известные значения в эту формулу:
EF / x = 25 / (25 + 15) = 25 / 40 = 5 / 8.
6. Следовательно, EF = (5/8) * x.
7. Также мы знаем, что CD = 5k и по аналогии можно выразить EF через CD:
EF / y = BC / (AD + BC) = 15 / (25 + 15) = 15 / 40 = 3 / 8.
8. Получается, EF = (3/8) * y.
9. У нас есть соотношения для y: так как y = 5k и CF + DF = 5k, отсюда k = (y/5).
10. Теперь свяжем все вместе, чтобы найти длину отрезка EF. Сначала определим y:
Поскольку CF:DF = 3:2, можем выразить y через k:
y = 5k, и подставляя в EF выражение:
EF = (3/8) * (5k).
11. Итак, у нас теперь два равенства для EF:
EF = (5/8)x = (3/8)(5k).
12. Приравняем 5x = 3(5k) и найдем x:
x = 3k.
13. Подставляем это значение обратно в одно из уравнений для EF:
EF = (5/8)(3k) = (15/8)k.
14. Нам необходимо выразить k через известные величины, используя пропорции двух боковых сторон. Мы можем взять длины AD и BC.
15. По известному значению CF и DF получаем CF + DF = 5k = y,
Таким образом, y = 25 (через AD), k = 5, отсюда EF = (15/8)*5 = 18.75.
Ответ:
Длина отрезка EF составляет 18.75.