Дано:
AD = 2 * BC, AD = 2 * CD, угол ADC = 60°, BD = 4.
Найти:
а) сторону CD.
б) сторону AB.
Решение:
1. Обозначим основания трапеции: AD = a, BC = b, CD = c.
2. Из условия задачи имеем:
a = 2b и a = 2c.
3. Следовательно, можно выразить b и c через a:
b = a / 2 и c = a / 2.
4. Теперь подставим значение AD:
a = 2c => c = a / 2.
5. Так как угол ADC равен 60°, используем теорему косинусов в треугольнике ACD:
AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * cos(угол ADC).
6. Подставляем известные значения:
AC^2 = a^2 + c^2 - 2 * a * c * (1/2).
Заменяем c = a / 2:
AC^2 = a^2 + (a / 2)^2 - 2 * a * (a / 2) * (1/2).
7. Упростим выражение:
AC^2 = a^2 + (a^2 / 4) - (a^2 / 2).
Приведем к общему знаменателю:
AC^2 = (4a^2 / 4) + (a^2 / 4) - (2a^2 / 4) = (4a^2 + a^2 - 2a^2) / 4 = (3a^2 / 4).
8. Таким образом,
AC = √(3a^2 / 4) = (√3 / 2) * a.
9. Теперь применим еще раз теорему косинусов в треугольнике ABD:
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos(угол ABD).
10. Здесь BD = 4 и угол ABD также равен 60°:
4^2 = AB^2 + a^2 - 2 * AB * a * (1/2).
11. Упростим:
16 = AB^2 + a^2 - AB * a.
12. Перепишем это уравнение:
AB^2 - AB * a + a^2 - 16 = 0.
13. Теперь заменим a на 2c (из уравнения 2):
Поскольку мы знаем, что c = a / 2, то:
a = 2c -> c = a / 2.
14. Подставляем значение c в уравнение:
2c^2 - 2c * AB + 4c^2 - 16 = 0.
15. Это квадратное уравнение можем решить через дискриминант или подстановку:
Найдем c и затем AB.
Теперь к пункту а:
1. Сначала найдем длину стороны CD:
Мы знаем, что AD = 2 * CD, поэтому c = 2.
2. Если CD = c, то AD = 4.
3. Теперь AB можно найти по ранее записанному квадратному уравнению.
Теперь к пункту б:
1. Найдя c = 2, а следовательно a = 4.
2. Далее подставляем это значение в уравнение:
AB^2 = 16 - 4 + 16 = 28
AB = √28 = 2√7.
Ответ:
а) Длина стороны CD составляет 2.
б) Длина стороны AB составляет 2√7.