Дано:
- Ромб ABCD.
- Угол B = 60°.
- Диагональ AC = 23.
Найти:
- Периметр ромба ABCD.
Решение:
1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Обозначим точки пересечения диагоналей как O.
2. В ромбе диагонали равны и имеют следующие свойства:
- AC = 23.
- Диагональ BD обозначим как d.
3. Так как угол B = 60°, то угол AOB = 60°, а углы AOC и BOC по 90°. Следовательно, треугольник AOB является прямоугольным, где AO и BO — половины диагоналей.
4. Длина отрезка AO равна половине длины диагонали AC:
AO = AC / 2 = 23 / 2 = 11.5.
5. В треугольнике AOB:
AB^2 = AO^2 + BO^2.
6. Зная, что угол B = 60°, можно воспользоваться свойствами тригонометрии:
BO = AO * tan(30°) (так как угол AOB = 60° и AO перпендикулярен BO).
7. tan(30°) = 1/sqrt(3), следовательно:
BO = 11.5 / sqrt(3).
8. Теперь можем найти AB, используя Pythagorean theorem:
AB^2 = (11.5)^2 + (11.5 / sqrt(3))^2.
9. Рассчитаем:
AB^2 = 132.25 + (132.25 / 3) = 132.25 + 44.0833 = 176.3333.
10. Таким образом:
AB = sqrt(176.3333) ≈ 13.27.
11. Периметр ромба выражается формулой:
P = 4 * AB = 4 * 13.27 ≈ 53.08.
Ответ:
Периметр ромба ABCD составляет примерно 53.08.