Дано:
1. Квадрат ABCD со сторонами длины a.
2. Точки A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a).
3. Точка M на диагонали AC такая, что AM = AB = a.
Найти:
Доказать, что BN = NH = HM.
Решение:
1. Найдем координаты точки M:
Так как точка M находится на диагонали AC, её координаты можно найти как:
M = (t, t), где t - расстояние от A до M.
Поскольку AM = a, получаем t = a.
Таким образом, M = (a, a).
2. Определим уравнение прямой AC:
Уравнение прямой AC: y = x (так как A(0, 0) и C(a, a)).
3. Определим направление линии, перпендикулярной AC:
Угловой коэффициент прямой AC равен 1, следовательно, угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен -1.
Уравнение прямой, проходящей через M и перпендикулярной AC:
y - a = -1(x - a) или y = -x + 2a.
4. Найдем точку пересечения H прямой y = -x + 2a с прямой BC:
Уравнение прямой BC (проходит через B и C):
y = a (поскольку это горизонтальная линия на уровне y = a).
5. Подставим y = a в уравнение -x + 2a:
a = -x + 2a
x = a.
Таким образом, H = (a, a).
6. Теперь найдем расстояния:
BN = BH = MN.
- Расстояние BH:
BH = |y_H - y_B| = |a - 0| = a.
- Расстояние NM:
NM = |y_M - y_H| = |a - a| = 0.
7. Проверим, если BN = NH = HM:
- BN = a.
- NH = a.
- HM = a.
Таким образом, мы получили, что BN = NH = HM.
Ответ:
Доказано, что BN = NH = HM = a.