Дано:
- катет AB в прямоугольном треугольнике ABC равен r (м).
- радиус вписанной окружности равен r.
Найти: длину хорды, соединяющую точки пересечения окружности с прямой BD.
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике ABC угол A является прямым. Мы знаем, что для данного треугольника радиус вписанной окружности (r) можно выразить через стороны треугольника. Запишем формулу для вписанной окружности:
r = (AB + AC - BC) / 2.
2. Обозначим:
AB = c = r,
AC = b,
BC = a.
3. Подставим известные значения в формулу:
r = (r + b - a) / 2.
Умножим обе части на 2:
2r = r + b - a.
Получаем:
b = a + r.
4. Теперь найдем координаты точек A, B, C, D. Положим координаты:
A(0, 0),
B(0, r),
C(b, 0) = (a + r, 0).
5. Координаты точки D, в которой окружность касается катета AC, будут D(d, 0), где d равно расстоянию от точки A до точки D и поскольку AD должно быть равно радиусу, d = r.
6. Таким образом, D имеет координаты D(r, 0).
7. Теперь найдем уравнение прямой BD. Прямая проходит через точки B(0, r) и D(r, 0). Наклон k этой прямой:
k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0 - r) / (r - 0) = -r/r = -1.
8. Уравнение прямой BD в общем виде:
y - y1 = k(x - x1) => y - r = -1(x - 0) => y = -x + r.
9. Окружность, вписанная в треугольник ABC, описывается уравнением:
(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2.
10. Подставляем уравнение прямой в уравнение окружности:
(x - r)^2 + (-x + r - r)^2 = r^2.
11. Упрощаем:
(x - r)^2 + (-x)^2 = r^2,
(x - r)^2 + x^2 = r^2.
12. Раскроем скобки:
(x^2 - 2xr + r^2) + x^2 = r^2,
2x^2 - 2xr + r^2 = r^2.
13. Упрощаем:
2x^2 - 2xr = 0,
2x(x - r) = 0.
14. Находим корни:
x1 = 0, x2 = r.
15. Соответствующие значения y:
Для x1 = 0: y = -0 + r = r.
Для x2 = r: y = -r + r = 0.
16. Таким образом, точки пересечения прямой BD и окружности – это B(0, r) и D(r, 0).
17. Находим длину хорды BD:
L = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = sqrt((r - 0)^2 + (0 - r)^2) = sqrt(r^2 + r^2) = sqrt(2r^2) = r * sqrt(2).
Ответ: длина хорды равна r * sqrt(2) метров.