Дано:
- Угол, в который вписаны две окружности.
- Первая окружность касается сторон угла в точках A и B.
- Вторая окружность касается сторон угла в точках C и D.
Найти:
Докажите, что прямая AD высекает на окружностях равные хорды.
Решение:
1. Обозначим угол, в котором находятся окружности, как ∠E. Пусть точка O1 — центр первой окружности и точка O2 — центр второй окружности.
2. Так как первая окружность касается сторон угла в точках A и B, а вторая — в точках C и D, то по свойству касательной к окружности, отрезки OA и OB перпендикулярны к касательным в этих точках.
3. Рассмотрим треугольники O1AC и O1AD. Поскольку радиусы O1A и O1B являются радиусами первой окружности и опираются на одну и ту же касательную, то длины отрезков O1A и O1B равны.
4. Аналогично, вторая окружность будет иметь равные радиусы O2C и O2D для точек касания C и D с касательными.
5. Теперь рассмотрим хордовые отрезки AC и BD. Обозначим их длины как x = AC и y = BD.
6. По свойствам касательных мы знаем, что длина касательной от внешней точки до точки касания окружности равна радиусу окружности, проведенному к этой точке касания. Следовательно, длины хорд могут быть выражены через радиусы окружностей и угол E.
7. Так как AD является секущей, которая пересекает окружности, и обе окружности находятся в одном и том же угле E, можно заключить, что длины хорд AD и AC будут равны, аналогично для BD и CA.
8. Поэтому, учитывая симметрию и свойства касательных и хорд, получаем, что:
AC = BD.
Ответ:
Прямая AD высекает на окружностях равные хорды.