Дано:
Точки A1 и A2 лежат на стороне BC, точки B1 и B2 — на стороне AC, точки C1 и C2 — на стороне AB. Точки A1, A2, B1, B2 лежат на одной окружности (О1); точки B1, B2, C1, C2 лежат на одной окружности (О2); точки C1, C2, A1, A2 лежат на одной окружности (О3).
Найти:
Докажите, что все 6 точек A1, A2, B1, B2, C1, C2 лежат на одной окружности.
Решение:
1. Обозначим окружности:
- О1: окружность, проходящая через точки A1, A2, B1, B2.
- О2: окружность, проходящая через точки B1, B2, C1, C2.
- О3: окружность, проходящая через точки C1, C2, A1, A2.
2. Так как A1, A2 находятся на окружности О1, то углы, образованные отрезками A1B1 и A2B2, равны. Обозначим их как угол A1B1C и угол A2B2C.
- Условие: угол A1B1C = угол A2B2C.
3. Поскольку B1, B2 находятся на окружности О2, то углы, образованные отрезками B1C1 и B2C2 также равны. Обозначим их как угол B1C1A и угол B2C2A.
- Условие: угол B1C1A = угол B2C2A.
4. Аналогично для окружности О3, где C1, C2 находятся на окружности, можем записать:
- угол C1A1B = угол C2A2B.
5. Теперь мы имеем три пары равных углов:
- угол A1B1C = угол A2B2C,
- угол B1C1A = угол B2C2A,
- угол C1A1B = угол C2A2B.
6. Из этого следует, что углы, противоположные каждому из наборов, также будут равны:
- угол A1C1B + угол A2C2B = 180 градусов,
- угол B1A1C + угол B2A2C = 180 градусов,
- угол C1B1A + угол C2B2A = 180 градусов.
7. Это подтверждает, что если три угла в треугольнике равны 180 градусам, то шесть этих точек могут располагаться на одной окружности, поскольку они удовлетворяют условиям вписанного четырехугольника.
8. Таким образом, все 6 точек A1, A2, B1, B2, C1, C2 лежат на одной окружности, так как выполняются все условия теоремы о вписанных углах.
Ответ:
Все 6 точек A1, A2, B1, B2, C1, C2 лежат на одной окружности.