дано:
периметр треугольника ABC P = 48 м
AM = 9 м
CM = 10 м
найти:
площадь треугольника ABC
решение:
1. Обозначим длины сторон треугольника:
AB = c, AC = b, BC = a.
2. Поскольку окружность вписана в треугольник и касается стороны AC в точке M, то отрезки AM и CM связаны с длинами сторон следующим образом:
AM = s - a,
CM = s - b,
где s - полупериметр треугольника, равный P/2.
3. Полупериметр s вычисляется следующим образом:
s = P / 2 = 48 / 2 = 24 м.
4. Теперь можем найти длины сторон через AM и CM:
a = s - AM = 24 - 9 = 15 м,
b = s - CM = 24 - 10 = 14 м.
5. Поскольку мы знаем две стороны (AC и BC), можем найти третью сторону (AB) через периметр:
c = P - (a + b) = 48 - (15 + 14) = 48 - 29 = 19 м.
6. Теперь у нас есть все три стороны треугольника:
a = 15 м,
b = 14 м,
c = 19 м.
7. Для нахождения площади S треугольника воспользуемся формулой Герона:
S = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)).
8. Подставим известные значения в формулу Герона:
S = sqrt(24 * (24 - 15) * (24 - 14) * (24 - 19))
= sqrt(24 * 9 * 10 * 5)
= sqrt(24 * 450)
= sqrt(10800)
= 30 * sqrt(12)
= 60 * sqrt(3) м².
ответ:
Площадь треугольника ABC равна 60 * sqrt(3) м².