Дано:
- длина боковой стороны AB = 4,
- длина боковой стороны CD = 5,
- основание BC = 1.
Найти:
площадь трапеции ABCD.
Решение:
1. Обозначим точки:
- Пусть точка M – середина отрезка AB. Тогда AM = MB = 2.
2. По условию, биссектрису угла ADC можно провести через точку M. Это означает, что треугольник AMD подобен треугольнику CMD.
3. Мы можем воспользоваться теоремой о биссектрисе, которая гласит, что отношение отрезков, на которые делит биссектрисы стороны, равно отношению прилежащих к ним сторон.
Обозначим:
- AD = x,
- DC = y.
Тогда по свойству биссектрисы:
AM / MB = AD / DC
2 / 2 = x / y
x = y.
4. Таким образом, AD = DC. Так как DC = 5, то AD = 5.
5. Теперь мы можем найти высоту трапеции h. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике AMD:
h^2 + (2)^2 = (5)^2
h^2 + 4 = 25
h^2 = 21
h = √21.
6. Теперь найдем площадь S трапеции по формуле:
S = (a + b) * h / 2,
где a и b – основания трапеции. В нашем случае:
a = BC = 1,
b = AD = 5.
Подставим значения в формулу:
S = (1 + 5) * √21 / 2
S = 6 * √21 / 2
S = 3 * √21.
Ответ:
Площадь трапеции ABCD равна 3√21.