а)
дано:
АС = 6 м, ВС = 8 м.
найти:
площадь треугольника DMG.
решение:
1. Найдем длину стороны AB по теореме Пифагора:
AB = √(AC^2 + BC^2) = √(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10 м.
2. Точка M — середина стороны AB, следовательно:
AM = MB = AB / 2 = 10 / 2 = 5 м.
3. Теперь определим координаты точек:
- C(0, 0),
- A(6, 0),
- B(0, 8).
- D находится на линии AC, его координаты будут D(6, 6) (так как квадрат имеет сторону 6).
- G находится на линии BC, его координаты будут G(-8, 8) (так как квадрат имеет сторону 8).
- M будет находиться в точке M(3, 4).
4. Теперь можно найти площади треугольника DMG:
Используем формулу для нахождения площади треугольника по координатам его вершин:
S = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|.
Подставляем координаты D(6, 6), M(3, 4), G(-8, 8):
S = 1/2 * |6(4 - 8) + 3(8 - 6) + (-8)(6 - 4)|,
S = 1/2 * |6*(-4) + 3*2 + (-8)*2|,
S = 1/2 * |-24 + 6 - 16|,
S = 1/2 * |-34| = 17 м².
ответ:
Площадь треугольника DMG равна 17 м².
б)
дано:
АС = b м, ВС = a м.
найти:
площадь треугольника DMG.
решение:
1. Длину стороны AB найдем по теореме Пифагора:
AB = √(AC^2 + BC^2) = √(b^2 + a^2).
2. Точка M — середина стороны AB:
AM = MB = (AB) / 2 = √(b^2 + a^2) / 2.
3. Теперь определим координаты точек:
- C(0, 0),
- A(b, 0),
- B(0, a).
- D находится на линии AC, его координаты будут D(b, b).
- G находится на линии BC, его координаты будут G(-a, a).
- M будет находиться в точке M(b/2, a/2).
4. Находим площадь треугольника DMG по координатам D(b, b), M(b/2, a/2), G(-a, a):
S = 1/2 * |b(a/2 - a) + (b/2)(a - b) + (-a)(b - b/2)|,
S = 1/2 * |b(a/2 - a) + (b/2)(a - b) + (-a)(b/2)|.
Приводим подобные слагаемые:
S = 1/2 * |b(-a/2) + (b/2)(a - b) - ab/2|,
S = 1/2 * |(-ab/2) + (ab/2 - b^2/2) - ab/2|,
S = 1/2 * |-b^2|.
Следовательно:
S = b^2 / 4.
ответ:
Площадь треугольника DMG равна b^2 / 4 м².