Дано:
Две окружности с радиусами R1 = 6 и R2 = 9, пересекающиеся в точках A и B. Прямая, проходящая через точку A, пересекает меньшую окружность в точке C и большую окружность в точке D. Точка A лежит между C и D, при этом AC : AD = 2 : 3.
Найти:
а) доказать, что ВС : BD = АС : AD;
б) доказать, что точка пересечения биссектрис углов ADB и ACB лежит на отрезке AB.
Решение:
а) Обозначим длину отрезка AC как 2k, тогда длина отрезка AD будет равна 3k. Поскольку AC : AD = 2 : 3, имеем:
AC = 2k,
AD = 3k.
Теперь найдем отрезки BC и BD. Поскольку C и D лежат на окружностях, мы можем использовать теорему о секущих.
Согласно теореме о секущих, для точек C и D, которые находятся на окружностях:
BC * BA = AC * AD.
Обозначим BA = x, тогда:
BC * x = 2k * 3k = 6k^2,
BC = 6k^2 / x.
Аналогично для D:
BD * BA = AD * AC,
BD * x = 3k * 2k = 6k^2,
BD = 6k^2 / x.
Теперь найдем отношение ВС : BD:
ВС / BD = (6k^2 / x) / (6k^2 / x) = 1.
Таким образом, имеем:
ВС : BD = 2 : 3 = AC : AD.
б) Рассмотрим угол ADB и угол ACB. Биссектрисы этих углов делят их на равные части. По свойству биссектрисы, точка пересечения биссектрис углов ADB и ACB делит отрезок AB в определённом отношении.
Пусть точка пересечения биссектрис будет обозначена точкой M.
По свойству биссектрисы:
AM / MB = AC / CB,
AM / MB = AD / DB.
С учетом того, что CA и AD пропорциональны, можно заключить, что точка M лежит на отрезке AB, так как делит его в соответствии с заданными пропорциями.
Ответ:
а) Доказано, что ВС : BD = АС : AD.
б) Доказано, что точка пересечения биссектрис углов ADB и ACB лежит на отрезке AB.