Дано:
ABCD - трапеция
AB = 27
CD = 28
BC = 5
cos∠BCD = -2/7
Найти:
AC - длина диагонали AC
Решение:
Используем теорему косинусов для треугольника BCD:
BD² = BC² + CD² - 2 * BC * CD * cos∠BCD
BD² = 5² + 28² - 2 * 5 * 28 * (-2/7)
BD² = 25 + 784 + 80 = 909
BD = √909
Рассмотрим треугольник ABD:
В треугольнике ABD известны стороны AB = 27, BD = √909, AD = BC + CD = 5 + 28 = 33 (так как ABCD - трапеция).
Используем теорему косинусов для треугольника ABD:
AC² = AB² + AD² - 2 * AB * AD * cos∠BAD
AC² = 27² + 33² - 2 * 27 * 33 * cos∠BAD
Найдем cos∠BAD:
BD² = AB² + AD² - 2 * AB * AD * cos∠BAD
909 = 27² + 33² - 2 * 27 * 33 * cos∠BAD
cos∠BAD = (27² + 33² - 909) / (2 * 27 * 33) = -1/9
Подставим найденное значение cos∠BAD в уравнение для AC²:
AC² = 27² + 33² - 2 * 27 * 33 * (-1/9)
AC² = 729 + 1089 + 198 = 2016
AC = √2016 = 12√14
Ответ:
AC = 12√14