Дано: стороны треугольника a = 23, b = 25, c = √234. Найти радиус окружности описанной около треугольника R.
Решение:
1. Находим полупериметр треугольника:
p = (a + b + c) / 2
p = (23 + 25 + √234) / 2
p = (48 + √234) / 2
2. Вычисляем площадь треугольника по формуле Герона:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
Для этого сначала найдем (p - a), (p - b) и (p - c):
p - a = (48 + √234) / 2 - 23 = (2 + √234) / 2
p - b = (48 + √234) / 2 - 25 = (−2 + √234) / 2
p - c = (48 + √234) / 2 - √234 = (48 - √234) / 2
Теперь подставим в формулу для площади:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
S = √((48 + √234) / 2 * (2 + √234) / 2 * (−2 + √234) / 2 * (48 - √234) / 2)
Упростим:
S = 1/4 * √((48 + √234)(2 + √234)(−2 + √234)(48 - √234))
Используем формулу для произведения двух разностей:
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
Применим её к (48 + √234)(48 - √234) = 48^2 - (√234)^2 = 2304 - 234 = 2070
Произведение (2 + √234)(−2 + √234) = (√234)^2 - 2^2 = 234 - 4 = 230
Таким образом:
S = 1/4 * √(2070 * 230)
3. Теперь находим радиус описанной окружности:
R = (abc) / (4S)
Подставим значения:
a = 23, b = 25, c = √234
abc = 23 * 25 * √234 = 575 * √234
Для S используем результат из предыдущего пункта:
S = 1/4 * √(2070 * 230)
Таким образом, R = (575 * √234) / (4 * (1/4 * √(2070 * 230))) = (575 * √234) / √(2070 * 230)
4. Упростим выражение для R:
R = 575 * √234 / √(2070 * 230)
R = 575 / √(2070 / 234 * 230)
Теперь можно вычислить значение R численно, если необходимо.
Ответ: радиус окружности, описанной около треугольника, равен R = 575 / √(2070 / 234 * 230).