Дано:
а) Вершины треугольника A(4; 5), B(8; 3) и C(4; 3)
б) Вершины треугольника A(2; 4), B(6; -4) и C(-8; -1)
Найти:
Проверить, является ли треугольник ABC прямоугольным.
Решение:
Для проверки прямоугольности треугольника воспользуемся теоремой Пифагора. Треугольник является прямоугольным, если квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон.
Сначала найдем длины сторон треугольника.
а)
1. Находим длины сторон AB, AC и BC:
AB:
x1 = 4, y1 = 5
x2 = 8, y2 = 3
d_AB = √((8 - 4)² + (3 - 5)²)
= √(4² + (-2)²)
= √(16 + 4)
= √20
AC:
x1 = 4, y1 = 5
x2 = 4, y2 = 3
d_AC = √((4 - 4)² + (3 - 5)²)
= √(0² + (-2)²)
= √(0 + 4)
= √4
= 2
BC:
x1 = 8, y1 = 3
x2 = 4, y2 = 3
d_BC = √((4 - 8)² + (3 - 3)²)
= √((-4)² + (0)²)
= √(16 + 0)
= √16
= 4
Теперь проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора:
d_AB² = d_AC² + d_BC²
(√20)² = (2)² + (4)²
20 = 4 + 16
20 = 20
Треугольник ABC является прямоугольным.
б)
1. Находим длины сторон AB, AC и BC:
AB:
x1 = 2, y1 = 4
x2 = 6, y2 = -4
d_AB = √((6 - 2)² + (-4 - 4)²)
= √(4² + (-8)²)
= √(16 + 64)
= √80
AC:
x1 = 2, y1 = 4
x2 = -8, y2 = -1
d_AC = √((-8 - 2)² + (-1 - 4)²)
= √((-10)² + (-5)²)
= √(100 + 25)
= √125
BC:
x1 = 6, y1 = -4
x2 = -8, y2 = -1
d_BC = √((-8 - 6)² + (-1 - (-4))²)
= √((-14)² + (3)²)
= √(196 + 9)
= √205
Теперь проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора:
d_AB² = d_AC² + d_BC²
(√80)² = (√125)² + (√205)²
80 ≠ 125 + 205
80 ≠ 330
Поскольку равенство не выполняется, треугольник ABC не является прямоугольным.
Ответ:
а) Треугольник ABC является прямоугольным.
б) Треугольник ABC не является прямоугольным.