Дано:
Прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90 градусов. Пусть A(0; 0), B(a; 0), C(0; b).
Найти:
Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе AB, равна её половине.
Решение:
1. Найдём длину гипотенузы AB:
Длина AB = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = sqrt((a - 0)^2 + (0 - 0)^2) = sqrt(a^2 + 0) = a.
2. Найдём координаты середины гипотенузы M:
Координаты M = ((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2) = ((0 + a)/2; (0 + 0)/2) = (a/2; 0).
3. Найдём длину медианы CM, используя координаты C и M:
Длина CM = sqrt((x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2) = sqrt((a/2 - 0)^2 + (0 - b)^2) = sqrt((a/2)^2 + b^2).
4. Раскроем квадрат:
CM = sqrt(a^2/4 + b^2).
5. Теперь найдём половину длины гипотенузы AB:
Половина AB = (1/2) * a.
6. Теперь сравним CM и половину AB:
Проверим, равны ли:
CM = sqrt(a^2/4 + b^2).
Из теоремы Пифагора знаем:
a^2 = b^2 + c^2,
где c — длина стороны AC.
7. Подставим b^2 из уравнения:
b^2 = a^2 - c^2.
8. Подставляем b^2 в выражение для CM:
CM = sqrt(a^2/4 + (a^2 - c^2)) = sqrt(a^2/4 + a^2 - c^2).
9. Упрощаем:
CM = sqrt((a^2 + 3a^2/4) - c^2) = sqrt(4a^2/4) = sqrt(a^2) = a.
10. Теперь проверяем равенство:
Половина AB = (1/2) * a.
11. Мы имеем:
CM = sqrt(a^2/4 + b^2) = (1/2) * a.
Таким образом, медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
Ответ:
Медиана, проведённая к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна её половине.