Дано:
Параллелограмм ABCD, где A(0, 0), B(a, 0), C(a + b, h), D(b, h) — координаты вершин параллелограмма.
Найти:
Доказать, что AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2.
Решение:
1. Находим длины сторон:
Длина AB:
AB = sqrt((a - 0)^2 + (0 - 0)^2) = sqrt(a^2) = a.
Длина BC:
BC = sqrt(((a + b) - a)^2 + (h - 0)^2) = sqrt(b^2 + h^2).
Длина CD:
CD = sqrt((b - (a + b))^2 + (h - h)^2) = sqrt((-a)^2) = a.
Длина DA:
DA = sqrt((0 - b)^2 + (0 - h)^2) = sqrt(b^2 + h^2).
2. Сумма квадратов сторон:
AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = a^2 + (b^2 + h^2) + a^2 + (b^2 + h^2).
Это упрощается до:
= 2a^2 + 2(b^2 + h^2).
3. Находим длины диагоналей:
Диагональ AC:
AC = sqrt(((a + b) - 0)^2 + (h - 0)^2) = sqrt((a + b)^2 + h^2).
Диагональ BD:
BD = sqrt((b - a)^2 + (h - 0)^2) = sqrt((b - a)^2 + h^2).
4. Сумма квадратов диагоналей:
AC^2 + BD^2 = ((a + b)^2 + h^2) + ((b - a)^2 + h^2).
Раскрываем скобки:
= (a^2 + 2ab + b^2 + h^2) + (b^2 - 2ab + a^2 + h^2).
Упрощаем:
= 2a^2 + 2b^2 + 2h^2.
5. Сравниваем суммы:
Мы имеем:
Сумма квадратов сторон: 2a^2 + 2(b^2 + h^2).
Сумма квадратов диагоналей: 2a^2 + 2b^2 + 2h^2.
Поскольку b^2 + h^2 = b^2 + h^2, то:
2a^2 + 2(b^2 + h^2) = 2a^2 + 2b^2 + 2h^2.
Ответ:
Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.