Дано:
а) Точка A(0; 0), прямая l: 3x - 5y + 4 = 0.
Найти:
Координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую l.
Решение:
1. Приведем уравнение прямой к общему виду:
3x - 5y + 4 = 0 можно записать как 5y = 3x + 4 или y = (3/5)x + 4/5.
2. Найдем коэффициенты прямой, перпендикулярной k:
У прямой l угловой коэффициент m = 3/5.
Угловой коэффициент перпендикуляра m' = -5/3.
3. Уравнение прямой, проходящей через точку A(0; 0) и имеющей угловой коэффициент -5/3:
y = (-5/3)x.
4. Найдем точку пересечения двух прямых:
Подставим y из уравнения перпендикуляра в уравнение прямой l:
3x - 5(-5/3)x + 4 = 0,
3x + (25/3)x + 4 = 0.
5. Приведем к одному знаменателю:
(9/3)x + (25/3)x + 4 = 0,
(34/3)x + 4 = 0.
6. Умножим на 3:
34x + 12 = 0,
34x = -12,
x = -12/34 = -6/17.
7. Найдем y:
y = (-5/3)(-6/17) = 30/51 = 10/17.
Ответ:
Координаты основания перпендикуляра: (-6/17; 10/17).
б) Точка A(2; -3), прямая l: 2x - 7y + 11 = 0.
Найти:
Координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую l.
Решение:
1. Приведем уравнение прямой к общему виду:
2x - 7y + 11 = 0 можно записать как 7y = 2x + 11 или y = (2/7)x + 11/7.
2. Найдем коэффициенты прямой, перпендикулярной k:
У прямой l угловой коэффициент m = 2/7.
Угловой коэффициент перпендикуляра m' = -7/2.
3. Уравнение прямой, проходящей через точку A(2; -3) и имеющей угловой коэффициент -7/2:
y + 3 = (-7/2)(x - 2),
y = (-7/2)x + 7 - 3,
y = (-7/2)x + 4.
4. Найдем точку пересечения двух прямых:
Подставим y из уравнения перпендикуляра в уравнение прямой l:
2x - 7((-7/2)x + 4) + 11 = 0,
2x + (49/2)x - 28 + 11 = 0.
5. Приведем к одному знаменателю:
(4/2)x + (49/2)x - 28 + 11 = 0,
(53/2)x - 17 = 0.
6. Умножим на 2:
53x - 34 = 0,
53x = 34,
x = 34/53.
7. Найдем y:
y = (-7/2)(34/53) + 4 = -119/53 + 212/53 = 93/53.
Ответ:
Координаты основания перпендикуляра: (34/53; 93/53).