Дано:
Прямоугольник ABCD с вершинами A(x1, y1), B(x2, y1), C(x2, y2), D(x1, y2).
Произвольная точка P(x, y).
Найти:
Сумму квадратов расстояний от точки P до двух противоположных вершин (например, A и C) и показать, что она равна сумме квадратов расстояний от точки P до двух других вершин (B и D).
Решение:
1. Рассмотрим расстояния от точки P до вершин A и C.
Расстояние PA = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2).
Расстояние PC = sqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2).
Сумма квадратов этих расстояний:
S1 = PA^2 + PC^2
= ((x - x1)^2 + (y - y1)^2) + ((x - x2)^2 + (y - y2)^2)
= (x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (x - x2)^2 + (y - y2)^2.
2. Теперь рассмотрим расстояния от точки P до вершин B и D.
Расстояние PB = sqrt((x - x2)^2 + (y - y1)^2).
Расстояние PD = sqrt((x - x1)^2 + (y - y2)^2).
Сумма квадратов этих расстояний:
S2 = PB^2 + PD^2
= ((x - x2)^2 + (y - y1)^2) + ((x - x1)^2 + (y - y2)^2)
= (x - x2)^2 + (y - y1)^2 + (x - x1)^2 + (y - y2)^2.
3. Теперь раскроем скобки в S1 и S2.
Для S1:
S1 = (x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (x - x2)^2 + (y - y2)^2
= (x^2 - 2xx1 + x1^2 + y^2 - 2yy1 + y1^2) + (x^2 - 2xx2 + x2^2 + y^2 - 2yy2 + y2^2)
= 2x^2 - 2x(x1 + x2) + (x1^2 + x2^2) + 2y^2 - 2y(y1 + y2) + (y1^2 + y2^2).
Для S2:
S2 = (x - x2)^2 + (y - y1)^2 + (x - x1)^2 + (y - y2)^2
= (x^2 - 2xx2 + x2^2 + y^2 - 2yy1 + y1^2) + (x^2 - 2xx1 + x1^2 + y^2 - 2yy2 + y2^2)
= 2x^2 - 2x(x1 + x2) + (x1^2 + x2^2) + 2y^2 - 2y(y1 + y2) + (y1^2 + y2^2).
4. Сравниваем S1 и S2:
Обе суммы S1 и S2 одинаковы:
S1 = S2.
Таким образом, сумма квадратов расстояний от произвольной точки P до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других его вершин.
Ответ:
Сумма квадратов расстояний от точки P до противоположных вершин A и C равна сумме квадратов расстояний от P до вершин B и D.