Question

Даны три вектора, а, b и с, причём векторы с и b взаимно перпендикулярны. Вычислите скалярное произведение векторов, а + 2b + с и а - 2b - с, если известно, что | а \ = 3, | b\ = 1 и | с | = 5.

Answer 1

Дано:
|a| = 3 (модуль вектора a)  
|b| = 1 (модуль вектора b)  
|c| = 5 (модуль вектора c)  
Векторы b и c взаимно перпендикулярны, то есть b • c = 0.

Найти:
Скалярное произведение векторов (a + 2b + c) и (a - 2b - c).

Решение:
Скалярное произведение двух векторов можно вычислить по формуле:

u • v = |u| |v| cos(θ),

где θ - угол между векторами u и v. Однако, также можно использовать распределительное свойство скалярного произведения:

(a + 2b + c) • (a - 2b - c) = a • a + a • (-2b) + a • (-c) + 2b • a + 2b • (-2b) + 2b • (-c) + c • a + c • (-2b) + c • (-c).

Теперь подставим значения:

1. a • a = |a|^2 = 3^2 = 9.
2. a • b = |a||b|cos(θ_ab), где θ_ab - угол между a и b. Оставим это выражение как a • b.
3. a • c = |a||c|cos(θ_ac), где θ_ac - угол между a и c. Оставим это выражение как a • c.
4. b • b = |b|^2 = 1^2 = 1.
5. b • c = 0 (перпендикулярные векторы).
6. c • c = |c|^2 = 5^2 = 25.

Теперь подставляем все в выражение:

(a + 2b + c) • (a - 2b - c) = 9 + a • (-2b) + a • (-c) + 2(a • b) + 2(-2b • b) + 2b • (-c) + c • a + c • (-2b) + (-25).

Упрощаем:

= 9 - 2(a • b) - (a • c) + 2(a • b) - 4 + 0 + (a • c) - 0 - 25.

Теперь объединим подобные члены:

= 9 - 4 - 25 + 0 = -20.

Ответ:
Скалярное произведение векторов (a + 2b + c) и (a - 2b - c) равно -20.