Дано:
Точки A(-2; 0), B(1; 6), C(5; 4), D(2; -2).
Найти:
Доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, используя скалярное произведение векторов.
Решение:
1. Найдем координаты векторов AB, BC, CD и DA.
Вектор AB:
AB = B - A = (1 - (-2); 6 - 0) = (3; 6).
Вектор BC:
BC = C - B = (5 - 1; 4 - 6) = (4; -2).
Вектор CD:
CD = D - C = (2 - 5; -2 - 4) = (-3; -6).
Вектор DA:
DA = A - D = (-2 - 2; 0 - (-2)) = (-4; 2).
2. Найдем скалярные произведения векторов, чтобы проверить перпендикулярность.
Сначала найдем AB • BC:
AB • BC = (3; 6) • (4; -2) = 3 * 4 + 6 * (-2) = 12 - 12 = 0.
Затем найдем BC • CD:
BC • CD = (4; -2) • (-3; -6) = 4 * (-3) + (-2) * (-6) = -12 + 12 = 0.
Теперь найдем CD • DA:
CD • DA = (-3; -6) • (-4; 2) = (-3) * (-4) + (-6) * 2 = 12 - 12 = 0.
И, наконец, найдем DA • AB:
DA • AB = (-4; 2) • (3; 6) = (-4) * 3 + 2 * 6 = -12 + 12 = 0.
3. Проверяем результаты:
Мы нашли, что:
AB • BC = 0,
BC • CD = 0,
CD • DA = 0,
DA • AB = 0.
Все скалярные произведения равны нулю, что подтверждает, что пары векторов являются перпендикулярными.
Ответ:
Таким образом, четырехугольник ABCD является прямоугольником, так как все его углы прямые.