Дано:
Треугольник ABC с вершинами A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3).
Найти:
Геометрическое место точек P для следующих условий:
а) Треугольники APB и ABC равновелики;
б) Треугольники APB и APC равновелики;
в) Треугольники APB, APC и BPC равновелики.
Решение:
а) Для того чтобы треугольники APB и ABC были равновелики, необходимо, чтобы их площади были равны.
Площадь треугольника ABC можно вычислить по формуле:
S_ABC = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|.
Площадь треугольника APB можно вычислить аналогично:
S_APB = 0.5 * |x1(y2 - yp) + x2(yp - y1) + xp(y1 - y2)|.
Для равенства площадей ставим:
0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| = 0.5 * |x1(y2 - yp) + x2(yp - y1) + xp(y1 - y2)|.
Это уравнение определяет геометрическое место точек P. Оно представляет собой прямую, которая делит треугольник ABC на две равные площади.
б) Для равенства площадей треугольников APB и APC нужно, чтобы:
S_APB = S_APC.
Площадь треугольника APC будет:
S_APC = 0.5 * |x1(y3 - yp) + x3(yp - y1) + xp(y1 - y3)|.
Ставим:
0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| = 0.5 * |x1(y3 - yp) + x3(yp - y1) + xp(y1 - y3)|.
Это также задает прямую, которая делит треугольник на две части с равными площадями.
в) Для равенства площадей треугольников APB, APC и BPC, необходимо, чтобы все три площади были равны:
S_APB = S_APC = S_BPC.
Площадь треугольника BPC будет:
S_BPC = 0.5 * |x2(y3 - yp) + x3(yp - y2) + xp(y2 - y3)|.
Ставим:
0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| = 0.5 * |x1(y3 - yp) + x3(yp - y1) + xp(y1 - y3)| = 0.5 * |x2(y3 - yp) + x3(yp - y2) + xp(y2 - y3)|.
Это уравнение задает сложную зависимость, но в общих чертах геометрическое место точек P будет находиться внутри треугольника ABC и будет описывать фигуру, равновеликую трем указанным треугольникам.
Ответ:
а) Геометрическое место точек P — прямая, делящая треугольник ABC на две равные площади.
б) Геометрическое место точек P — прямая, делящая треугольник ABC на две равные площади между треугольниками APB и APC.
в) Геометрическое место точек P — область внутри треугольника ABC, где площади треугольников APB, APC и BPC равны.