Дано:
Две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами R1 и R2 соответственно (в СИ, метры).
Координаты центров окружностей O1(x1, y1) и O2(x2, y2).
Найти:
Уравнения двух внешних касательных к данным окружностям.
Решение:
1. Вычислим расстояние d между центрами окружностей O1 и O2:
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).
2. Убедимся, что окружности не пересекаются и не совпадают, то есть выполнено условие d > R1 + R2. Если это условие не выполняется, внешние касательные провести нельзя.
3. Найдем длину отрезка L от точки касания на первой окружности до точки касания на второй окружности. Формула для длины L:
L = sqrt(d^2 - (R1 + R2)^2).
4. Определим угол α между линией соединяющей центры окружностей и одной из касательных. Угол можно найти по формуле:
cos(α) = (R1 + R2) / d,
sin(α) = L / d.
5. Теперь найдем углы β и γ между линией, соединяющей центры окружностей и касательными. Эти углы равны:
β = arcsin(L / d),
γ = π/2 - β.
6. Находим координаты точек касания T1 и T2. Для этого определим координаты точки P, делящей отрезок O1O2 в отношении радиусов R1 и R2:
xP = (R2 * x1 + R1 * x2) / (R1 + R2),
yP = (R2 * y1 + R1 * y2) / (R1 + R2).
7. Теперь используем углы α, β и γ для нахождения координат точек касания T1 и T2:
T1 будет находиться на окружности с центром O1 и радиусом R1, а T2 на окружности с центром O2 и радиусом R2.
Координаты точки T1:
xT1 = x1 + R1 * (xP - x1) / d,
yT1 = y1 + R1 * (yP - y1) / d.
Координаты точки T2:
xT2 = x2 + R2 * (xP - x2) / d,
yT2 = y2 + R2 * (yP - y2) / d.
8. Наконец, уравнения касательных можно записать в виде:
y - yT1 = m1(x - xT1) для первой касательной
y - yT2 = m2(x - xT2) для второй касательной,
где m1 и m2 – угловые коэффициенты, которые можно найти из треугольников образованных касательными и линией соединяющей центры окружностей.
Ответ:
Уравнения двух внешних касательных к окружностям с центрами O1 и O2, радиусами R1 и R2 могут быть выражены как y - yT1 = m1(x - xT1) и y - yT2 = m2(x - xT2), где T1 и T2 – точки касания. Угловые коэффициенты m1 и m2 находятся через угол α и длину L.