Дано:
Трапеция ABCD, где AB || CD. Боковая сторона AB равна диагонали BD (AB = BD). Точка M — середина боковой стороны CD. Диагональ AC пересекает отрезок BM в точке O.
Найти:
Докажите, что треугольник BOC является равнобедренным.
Решение:
1. Обозначим длину боковой стороны AB как k. Тогда BD также равно k, так как по условию AB = BD.
2. Поскольку M — середина CD, то можем записать:
CM = MD.
3. Рассмотрим треугольники BOD и BOC. В этих треугольниках у нас есть общая сторона BO.
4. Углы при вершине B:
- ∠OBC = углу при вершине D, потому что AB || CD и BD является секущей.
- Таким образом, угол OBD равен углу DBC.
5. Углы при вершине C:
- ∠OCB равен углу CDA, поскольку AB || CD и BD также служит секущей.
6. Углы OBC и OCB равны соответственно углам DBC и CDA. Следовательно:
∠OBD = ∠OBC,
∠OCB = ∠CDA.
7. Теперь рассмотрим треугольник BOC:
- Мы знаем, что у него две пары углов, которые равны, а значит, по критерию равенства углов, мы можем заключить, что BO = OC.
8. Таким образом, из всего вышесказанного следует, что стороны BO и OC равны, что означает, что треугольник BOC является равнобедренным.
Ответ:
Треугольник BOC является равнобедренным.