дано:
- вес тела на экваторе W_экватор = 1/2 * W_полюс
- плотность вещества планеты ρ = 3 г/см^3 = 3000 кг/m^3
найти:
период вращения планеты T
решение:
1. На полюсе вес тела определяется только силой тяжести:
W_полюс = m * g
2. На экваторе вес тела будет определяться как:
W_экватор = m * (g - a), где a - центробежное ускорение.
3. Так как W_экватор = 1/2 * W_полюс, запишем уравнение:
m * (g - a) = 1/2 * m * g
Упростим:
g - a = 1/2 * g
a = g/2
4. Центробежное ускорение на экваторе рассчитывается по формуле:
a = ω² * R,
где ω - угловая скорость, R - радиус планеты.
5. Подставим значение для а:
g/2 = ω² * R
ω² = g / (2 * R)
6. Теперь найдём радиус планеты. Для этого используем среднюю плотность:
M = V * ρ,
где V - объём планеты, R - радиус планеты.
Объём сферы: V = (4/3) * π * R³
Масса планеты:
M = (4/3) * π * R³ * ρ
7. Учитывая, что сила тяжести определяется как g = G * M / R²,
подставим M:
g = G * ((4/3) * π * R³ * ρ) / R²
g = (4/3) * π * G * ρ * R
8. Выразим R через g и другие известные величины:
R = (3g) / (4πGρ)
9. Подставим это значение в уравнение для угловой скорости:
ω² = g / (2 * R)
ω² = g / (2 * [(3g) / (4πGρ)])
ω² = (4πGρ) / 6
ω = √((4πGρ) / 6)
10. Период вращения T связан с угловой скоростью ω:
T = 2π / ω
11. Подставив выражение для ω:
T = 2π / √((4πGρ) / 6)
T = 2π * √(6 / (4πGρ))
12. Подставим значения:
G ≈ 6.674 × 10^-11 Н·м²/кг²
ρ = 3000 кг/m³
T = 2π * √(6 / (4π * 6.674 × 10^-11 * 3000))
13. Рассчитаем:
4π * 6.674 × 10^-11 * 3000 ≈ 2.511 × 10^-7
T ≈ 2π * √(6 / (2.511 × 10^-7))
14. Примерно:
T ≈ 2π * √(23941164.51)
T ≈ 2π * 4897.7
T ≈ 30776.71 секунд
ответ:
Период вращения планеты около 30776.71 секунд.