Дано:
- Радиус сферы R = 28 см = 0.28 м
- Высота h = 20 см = 0.20 м
Найти: скорость v, с которой должен вращаться шарик.
Решение:
Шарик будет находиться в горизонтальной плоскости на высоте 20 см от нижней точки сферы. Для определения радиуса окружности, по которой будет двигаться шарик, можно использовать следующую формулу:
r = R - h,
где r - радиус окружности, по которой движется шарик.
Подставляем значения:
r = 0.28 м - 0.20 м = 0.08 м.
Теперь, чтобы определить скорость v, используем уравнение центростремительного ускорения a_c, которое равно:
a_c = v^2 / r.
При этом центростремительное ускорение также выражается через компоненту силы тяжести, действующую на шарик:
a_c = g * sin(θ),
где θ - угол наклона радиус-вектора от вертикали к горизонтали. Угол θ можно найти из треугольника, заданного радиусом сферы и высотой:
sin(θ) = h / R.
Теперь подставим значения:
sin(θ) = 0.20 м / 0.28 м ≈ 0.7143.
Теперь мы можем выразить a_c:
a_c = g * sin(θ) = 9.81 м/с² * 0.7143 ≈ 7.01 м/с².
Приравниваем два выражения для a_c:
v^2 / r = g * sin(θ).
Подставляем известные значения:
v^2 / 0.08 m = 7.01 m/s².
Переписываем это уравнение для нахождения скорости v:
v^2 = 7.01 m/s² * 0.08 m,
v^2 ≈ 0.5608 m²/s².
Теперь находим v:
v ≈ √(0.5608 m²/s²) ≈ 0.749 m/s.
Ответ: Шарик должен вращаться со скоростью примерно 0.749 м/с, чтобы оставаться в горизонтальной плоскости на высоте 20 см от нижней точки сферы.