Дано:
- Масса первого куска m1 = 1 кг
- Скорость первого куска V1 = 12 м/с
- Масса второго куска m2 = 2 кг
- Скорость второго куска V2 = 8 м/с
- Скорость третьего куска V3 = 40 м/с
- Масса третьего куска m3 (неизвестна)
Найти: массу третьего куска m3.
Решение:
1. По закону сохранения импульса суммарный импульс до и после взрыва должен быть одинаковым. Начальный импульс равен нулю, так как камень находился в покое до взрыва.
2. Значит, сумма импульсов всех трёх кусков также должна быть равна нулю:
P_total = P1 + P2 + P3 = 0
Импульс каждого куска можно рассчитать по формуле:
P = m * V
3. Сначала запишем импульсы для двух известных кусков. Для удобства будем считать, что первый кусок движется вдоль оси X, а второй — вдоль оси Y:
P1 = m1 * V1 = 1 кг * 12 м/с = 12 кг·м/с (по оси X)
P2 = m2 * V2 = 2 кг * 8 м/с = 16 кг·м/с (по оси Y)
4. Теперь найдем импульс третьего куска P3, который будет направлен против векторов P1 и P2. Поскольку третий кусок имеет скорость 40 м/с, его импульс будет:
P3 = m3 * V3
5. Чтобы найти направление этого импульса, используем теорему Пифагора, так как два первых куска движутся перпендикулярно друг к другу:
Векторная сумма импульсов:
P_total_x = P1 - P3x = 0
P_total_y = P2 - P3y = 0
6. Запишем компоненты импульса третьего куска. Скорость может быть разложена на компоненты по осям X и Y:
P3x = m3 * V3x
P3y = m3 * V3y
Зная скорость третьего куска, можем использовать соотношения треугольника:
V3x = 40 * cos(θ)
V3y = 40 * sin(θ)
Однако мы не знаем угол θ. Вместо этого можем использовать сохранение импульса:
12 = m3 * V3x
16 = m3 * V3y
7. Для нахождения массы третьего куска воспользуемся вычислением модуля общего импульса:
По оси X:
12 - m3 * V3x = 0
Поэтому:
m3 * V3x = 12
По оси Y:
16 - m3 * V3y = 0
Поэтому:
m3 * V3y = 16
8. У нас есть два уравнения:
m3 = 12 / V3x (1)
m3 = 16 / V3y (2)
9. Используя теорему Пифагора:
V3 = sqrt(V3x^2 + V3y^2)
40 = sqrt((12/m3)^2 + (16/m3)^2)
Возведем обе стороны в квадрат:
1600 = (144/m3^2) + (256/m3^2)
1600 = 400/m3^2
m3^2 = 400/1600
m3 = 2.5 кг
Ответ:
Масса третьего куска составляет 2.5 кг.