Дано:
- Массa шара m (оба шара имеют одинаковую массу)
- Скорость первого шара v1 (вводим значение в метрах в секунду)
- Скорость второго шара v2 = 0 (второй шар покоится)
- Угол столкновения θ (угол между направлением скорости первого шара и нормалью к линии столкновения)
Найти:
- Углы разлета шаров α и β после столкновения
Решение:
1. По закону сохранения импульса в двух направлениях (по оси x и по оси y):
Для оси x:
m * v1 = m * v1' * cos(α) + m * v2' * cos(β)
Для оси y:
0 = m * v1' * sin(α) - m * v2' * sin(β)
Здесь v1' и v2' – скорости шаров после столкновения.
2. Учитывая, что массы одинаковые, можно сократить на m:
v1 = v1' * cos(α) + v2' * cos(β) (1)
0 = v1' * sin(α) - v2' * sin(β) (2)
3. Поскольку это абсолютно упругий удар, также выполняется закон сохранения энергии:
(1/2) * m * v1^2 = (1/2) * m * (v1'^2 + v2'^2)
Сокращаем на (1/2) * m:
v1^2 = v1'^2 + v2'^2 (3)
4. Из уравнения (2) выразим v2':
v2' = v1' * sin(α) / sin(β)
5. Подставим v2' из (2) в (3):
v1^2 = v1'^2 + (v1' * sin(α) / sin(β))^2
Раскроем скобки:
v1^2 = v1'^2 + (v1'^2 * sin^2(α)) / sin^2(β)
Объединим v1'^2:
v1^2 = v1'^2 (1 + sin^2(α) / sin^2(β))
6. Разделим обе стороны на v1'^2:
v1^2 / v1'^2 = 1 + sin^2(α) / sin^2(β)
Исходя из этого, найдем соотношение:
sin^2(α) / sin^2(β) = (v1^2 / v1'^2) - 1
7. Чтобы найти углы α и β, используем тригонометрические соотношения. Зная, что сумма углов при упругом столкновении равна 90 градусам:
α + β = 90°
Из этого следует, что β = 90° - α.
8. Подставляем β в уравнение:
sin^2(α) + sin^2(90° - α) = (v1^2 / v1'^2)
sin^2(α) + cos^2(α) = (v1^2 / v1'^2)
9. Следовательно, получаем:
1 = (v1^2 / v1'^2)
Отсюда v1' = v1.
10. Теперь можем найти углы α и β.
Если выбрать угол α равным 45°, то β также будет равен 45°:
α = 45°, β = 45°.
Ответ:
Углы разлета шаров α и β равны 45° после абсолютно упругого нецентрального столкновения.