дано:
h1 = 90 м - глубина водоема,
P0 = 100 кПа - атмосферное давление,
rho = 10^3 кг/м^3 - плотность воды,
g = 9.81 м/с^2 - ускорение свободного падения,
r1 - начальный радиус пузырька,
r2 = 2 * r1 - конечный радиус пузырька (увеличился в 2 раза).
найти:
глубину h2, на которой радиус пузырька увеличится в 2 раза.
решение:
1. Давление на глубине h1 можно найти по формуле:
P1 = P0 + rho * g * h1,
где P1 - полное давление на глубине h1.
Подставим известные значения:
P1 = 100 кПа + (10^3 кг/м^3) * (9.81 м/с^2) * (90 м),
P1 = 100000 Па + 882900 Па = 982900 Па = 982.9 кПа.
2. Теперь найдем давление на глубине h2, где радиус пузырька увеличится в 2 раза. Согласно закону Бойля, при постоянной температуре произведение давления и объема остается постоянным:
P1 * V1 = P2 * V2,
где V1 = (4/3) * π * r1^3 и V2 = (4/3) * π * r2^3.
Поскольку r2 = 2 * r1, получаем:
V2 = (4/3) * π * (2 * r1)^3 = (4/3) * π * 8 * r1^3 = 8 * V1.
Подставим это в уравнение:
P1 * V1 = P2 * (8 * V1).
Упрощая, мы можем сократить V1:
P1 = 8 * P2,
или
P2 = P1 / 8.
3. Теперь подставим значение P1:
P2 = (982900 Па) / 8 ≈ 122862.5 Па = 122.86 кПа.
4. Теперь найдем глубину h2, соответствующую давлению P2:
P2 = P0 + rho * g * h2.
Подставим известные значения:
122862.5 Па = 100000 Па + (10^3 кг/м^3) * (9.81 м/с^2) * h2.
5. Упростим уравнение и найдем h2:
122862.5 - 100000 = (10^3) * (9.81) * h2,
22862.5 = 9810 * h2,
h2 = 22862.5 / 9810 ≈ 2.33 м.
ответ:
Глубина, на которой радиус пузырька увеличится в 2 раза, составляет примерно 2.33 м от поверхности воды.