дано:
- количество автомобилей n = 12;
- вероятность выхода на линию каждого автомобиля p = 0,9;
- для нормальной работы гаража необходимо иметь на линии не менее k = 10 автомобилей.
найти:
- вероятность того, что на линии будет не менее 10 автомобилей.
решение:
1. Обозначим случайную величину X как количество автомобилей, вышедших на линию. X распределено по биномиальному закону B(n, p), то есть X ~ B(12, 0.9).
2. Необходимые значения k для нормальной работы гаража: k = 10, 11, 12.
3. Найдем вероятности P(X = k) для k = 10, 11, 12.
- P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k).
где C(n, k) – биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n - k)!).
4. Рассчитаем каждую вероятности:
- P(X = 10):
P(X = 10) = C(12, 10) * (0.9)^10 * (0.1)^2
= (12! / (10! * 2!)) * (0.9)^10 * (0.1)^2
= 66 * (0.3487) * (0.01)
≈ 0.0660.
- P(X = 11):
P(X = 11) = C(12, 11) * (0.9)^11 * (0.1)^1
= (12! / (11! * 1!)) * (0.9)^11 * (0.1)^1
= 12 * (0.3138) * (0.1)
≈ 0.3765.
- P(X = 12):
P(X = 12) = C(12, 12) * (0.9)^12 * (0.1)^0
= (12! / (12! * 0!)) * (0.9)^12
= 1 * (0.2824)
≈ 0.2824.
5. Теперь найдем общую вероятность нормальной работы гаража:
P(X >= 10) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12)
≈ 0.0660 + 0.3765 + 0.2824
≈ 0.7249.
ответ:
Вероятность нормальной работы гаража в ближайший день составляет примерно 0.7249.