дано:
1. Каждая из двух коробок содержит по n спичек.
2. Математик случайным образом выбирает одну из коробок и поджигает спичку до тех пор, пока одна из коробок не окажется пустой.
найти:
Вероятность того, что в другой коробке в этот момент лежит k спичек.
решение:
Обозначим A — коробка 1 и B — коробка 2. Пусть n1 и n2 — количество спичек в коробках A и B соответственно в момент, когда одна из коробок опустошается.
В начале: n1 = n и n2 = n.
Когда математик зажигает спички, он может выбрать коробку A или B с равной вероятностью. На любом этапе:
- Если выбрана коробка A, то n1 уменьшается на 1.
- Если выбрана коробка B, то n2 уменьшается на 1.
Процесс будет продолжаться до тех пор, пока одна из коробок не станет пустой. Существует два сценария:
1. Коробка A опустошается первой.
2. Коробка B опустошается первой.
Пусть X — количество спичек, оставшихся в коробке B, когда коробка A пуста. Таким образом, X может принимать значения от 0 до n.
Если коробка A опустошается первой, то общее количество использованных спичек равно n, и коробка B могла потерять от 0 до n спичек.
Итак, вероятность того, что в коробке B останется k спичек (т.е. использовано n - k спичек из коробки B), можно определить следующим образом:
P(X = k | A пуста) = C(n, n - k) * (1/2)^(n - k) * (1/2)^(k)
где C(n, n - k) — количество способов выбрать n - k спичек для использования в коробке B.
Аналогично мы можем рассмотреть случай, когда коробка B опустошается первой. В этом случае вероятность того, что в коробке A останется k спичек:
P(Y = k | B пуста) = C(n, n - k) * (1/2)^(n - k) * (1/2)^(k)
В обоих случаях, поскольку коробки выбираются с равной вероятностью, итоговая формула для вероятности того, что в другой коробке в момент, когда одна из коробок пуста, остается k спичек:
P(k) = (1/2) * P(X = k | A пуста) + (1/2) * P(Y = k | B пуста)
Подставив выражения для вероятностей, получаем:
P(k) = (1/2) * [C(n, n - k) * (1/2)^n] + (1/2) * [C(n, n - k) * (1/2)^n]
= C(n, n - k) * (1/2)^(n - 1)
ответ:
Вероятность того, что в другой коробке в это время лежит k спичек: P(k) = C(n, n - k) * (1/2)^(n - 1).