Дано:
Бинарная случайная величина X принимает два значения: 0 и 1. Пусть p - вероятность того, что X = 1, тогда (1 - p) - вероятность того, что X = 0.
Найти:
Максимальное и минимальное значение дисперсии бинарной случайной величины X.
Решение:
Дисперсия бинарной случайной величины X рассчитывается по формуле:
D(X) = p * (1 - p)
где D(X) - дисперсия, p - вероятность успеха (X = 1), (1 - p) - вероятность неуспеха (X = 0).
Чтобы найти наименьшую и наибольшую дисперсию, рассмотрим функцию D(p) = p * (1 - p) на интервале [0, 1].
1. Наименьшая дисперсия:
- Если p = 0 или p = 1, то D(0) = 0 * (1 - 0) = 0 и D(1) = 1 * (1 - 1) = 0.
- Следовательно, наименьшая дисперсия равна 0.
2. Наибольшая дисперсия:
- Чтобы найти максимальное значение D(p), необходимо взять производную функции D(p):
- D'(p) = 1 - 2p.
- Приравняем производную к нулю для нахождения критической точки:
1 - 2p = 0
=> p = 0.5.
- На этом значении D(p) будет:
D(0.5) = 0.5 * (1 - 0.5) = 0.5 * 0.5 = 0.25.
Теперь проверим границы интервала [0, 1]:
- D(0) = 0
- D(1) = 0
Таким образом, максимальная дисперсия достигается при p = 0.5 и равна 0.25.
Ответ: Наименьшая дисперсия равна 0 (при p = 0 или p = 1), наибольшая дисперсия равна 0.25 (при p = 0.5).