дано:
- количество досок: 5
- количество банок с краской: 12
найти:
количество различных раскрасок забора в двух случаях.
решение:
а) Разные доски можно красить одним цветом.
Каждая из 5 досок может быть покрашена в любой из 12 цветов. Поскольку каждая доска независима, общее количество вариантов раскраски будет равно:
N(раскраска) = 12^5.
Теперь вычислим значение:
N(раскраска) = 12 * 12 * 12 * 12 * 12 = 248832.
б) Каждая доска должна быть своего цвета.
В этом случае каждая из 5 досок должна быть покрашена в разные цвета, и для этого мы должны выбрать 5 цветов из 12 возможных. После выбора цветов нужно учесть, что они могут быть расположены на досках в любом порядке.
Количество способов выбрать 5 цветов из 12 можно вычислить по формуле комбинаций:
C(12, 5) = 12! / (5! * (12 - 5)!).
После выбора 5 цветов, количество способов их расположения на 5 досках будет равно 5! (факториал 5).
Итак, общее количество раскрасок будет равно:
N(раскраска) = C(12, 5) * 5!.
Сначала вычислим C(12, 5):
C(12, 5) = 12! / (5! * 7!) = (12 * 11 * 10 * 9 * 8) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 792.
Теперь найдем 5!:
5! = 120.
Теперь подставим значения:
N(раскраска) = 792 * 120 = 95040.
ответ:
а) 248832 раскрасок;
б) 95040 раскрасок.