Question

Родители детей из предыдущей задачи тем временем танцевали на новогоднем балу, который также давал генерал-губернатор. Всего собралось п семейных пар, причём в каждой паре муж и жена были совершенно одного роста, но двух пар одного роста не было. Когда заиграл вальс, кавалеры пригласили случайно выбранных дам на танец. Найдите математическое ожидание числа танцующих пар, где кавалер ниже дамы.

Answer 1

Дано:
- Количество семейных пар n.

Найти:
Математическое ожидание числа танцующих пар, где кавалер ниже дамы.

Решение:
Обозначим случайную величину Yi как индикатор того, что i-я пара (кавалер и дама) танцует так, что кавалер ниже дамы (Yi = 1, если кавалер ниже, и Yi = 0, если нет).

Математическое ожидание E(Yi) можно найти следующим образом:

Поскольку рост кавалеров и дам различен (двух пар одного роста нет), вероятность того, что кавалер ниже дамы, равна 1/2. Это связано с тем, что каждая дама может быть либо выше, либо ниже своего партнёра.

Теперь найдем общее математическое ожидание E(T) для всех пар, где T = Y1 + Y2 + ... + Yn:

E(T) = E(Y1) + E(Y2) + ... + E(Yn)
      = n * E(Yi)
      = n * (1/2)
      = n / 2.

Ответ:
Ожидаемое число танцующих пар, где кавалер ниже дамы, равно n / 2.