Дано:
- Количество зрителей n = 20.
- Каждый из 20 зрителей имеет свой билет на одно из 20 кресел.
Найти:
а) Математическое ожидание числа вставаний.
б) Математическое ожидание числа зрителей, которым вставать не придётся ни разу.
Решение:
а) Обозначим случайную величину X как общее количество вставаний.
Каждый зритель может занять своё место или не занять его. Если зритель занимает своё место, он не будет вставать. Если он занимает чужое место, ему нужно вставать, чтобы пропустить владельца.
Рассмотрим каждого зрителя i и вероятность того, что он займет свое место. Вероятность того, что i-й зритель займёт своё место равна 1/20, а вероятность того, что он займет чужое — 19/20.
Таким образом, ожидаемое число вставаний можно выразить как:
E(X) = Σ (вероятность вставания для каждого зрителя).
Если зритель i занимает чужое место, то все зрители, у которых есть свои места после него, должны будут встать.
Итак, для i-го зрителя, который занимает чужое место, ожидаемое количество вставаний равно (n - i), по тому что i=1...n.
E(X) = Σ (n - i) * P(зритель i встал).
E(X) = Σ (n - i) * (19/20) (i от 1 до 20).
Однако, более простая модель учитывает, что в среднем каждый зритель, кроме последнего, будет вставать с вероятностью 1/2.
Таким образом:
E(X) = (n - 1) / 2 = (20 - 1) / 2 = 19 / 2 = 9.5.
б) Обозначим случайную величину Y как количество зрителей, которые не встают ни разу.
Зритель не встанет, если он занимает своё место сразу же. Вероятность этого события равна 1/n, так как зрители проходят на своё место в случайном порядке.
Следовательно:
E(Y) = n * P(зритель не встанет)
= 20 * (1/20)
= 1.
Ответ:
а) Математическое ожидание числа вставаний равно 9.5.
б) Математическое ожидание числа зрителей, которым вставать не придётся ни разу, равно 1.