Question

Каждый день кот Базилио и лиса Алиса обходят все 20 дворов столицы Страны Дураков, и в каждом дворе им либо дают, либо не дают один золотой с вероятностью 0,5. Если к концу дня число выпрошенных золотых четно, то лиса и кот делят их поровну. Если же оно нечётно, то они делят все монеты, кроме одной, поровну, а последнюю кот Базилио забирает себе как коммерческий директор предприятия. Найдите математическое ожидание числа золотых, полученных лисой за день.

Answer 1

Дано:
- Количество дворов: 20.
- Вероятность получить один золотой в каждом дворе: 0,5.

Найти:
Математическое ожидание числа золотых, полученных лисой Алисе за день.

Решение:

1. Обозначим случайную величину X — общее количество золотых, полученных Базилио и Алисой. X подчиняется биномиальному распределению с параметрами n = 20 и p = 0,5.

2. Математическое ожидание (среднее) для X:
E(X) = n * p = 20 * 0,5 = 10.

3. Теперь определим, как делится количество золотых в зависимости от четности X:

   - Если X четно, то лиса и кот делят все золотые поровну.
   - Если X нечётно, то кот забирает одну монету, и оставшиеся делятся поровну.

4. Обозначим Y — количество золотых, полученных лисой. Можно выразить Y в зависимости от четности X:

   - Если X четно (например, 2k), то Y = X / 2.
   - Если X нечётно (например, 2k + 1), то Y = (X - 1) / 2.

5. Найдем вероятность четности и нечётности X. Поскольку X распределено биномиально, количество четных и нечётных значений X имеет равные вероятности:

   - P(X четно) = P(X нечётно) = 0,5.

6. Теперь рассчитаем математическое ожидание Y:

   E(Y) = E(Y | X четно) * P(X четно) + E(Y | X нечётно) * P(X нечётно).

   - Если X четно, то E(Y | X четно) = E(X) / 2 = 10 / 2 = 5.
   - Если X нечётно, то E(Y | X нечётно) = (E(X) - 1) / 2 = (10 - 1) / 2 = 9 / 2 = 4.5.

7. Подставим значения:

   E(Y) = 5 * 0,5 + 4.5 * 0,5
          = 2.5 + 2.25
          = 4.75.

Ответ:
Математическое ожидание числа золотых, полученных лисой Алисе за день, равно 4.75.