дано:
период обращения спутника на низкой орбите T_low
высота низкой орбиты h ≈ 0 (всегда меньше радиуса планеты)
радиус планеты R
период обращения спутника на орбите, равной радиусу планеты T_high при высоте равной R.
найти:
отношение периодов T_high / T_low.
решение:
Период обращения спутника по круговой орбите можно вычислить по формуле:
T = 2 * π * sqrt(R^3 / (G * M))
где G - гравитационная постоянная, M - масса планеты.
1. Для спутника на низкой орбите (h ≈ 0):
Радиус орбиты будет R_low ≈ R.
T_low = 2 * π * sqrt(R^3 / (G * M))
2. Для спутника на высоте, равной радиусу планеты:
Радиус орбиты будет R_high = R + R = 2R.
T_high = 2 * π * sqrt((2R)^3 / (G * M))
T_high = 2 * π * sqrt(8R^3 / (G * M))
T_high = 2 * π * sqrt(8) * sqrt(R^3 / (G * M))
T_high = 2 * √2 * π * sqrt(R^3 / (G * M))
Теперь найдем отношение периодов:
T_high / T_low = (2 * √2 * π * sqrt(R^3 / (G * M))) / (2 * π * sqrt(R^3 / (G * M)))
Сокращая, получаем:
T_high / T_low = √2
ответ:
Период обращения спутника на высоте, равной радиусу планеты, в √2 раз больше периода обращения спутника на низкой орбите.