дано:
масса первого шарика = m,
начальная скорость первого шарика = v,
масса второго покоящегося шарика = m2 = ? (неизвестна),
начальная скорость второго шарика = 0.
найти:
а) направление движения шариков после удара;
б) модуль скорости каждого шарика после столкновения;
в) массу покоившегося шарика.
решение:
при упругом ударе выполняются два закона: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.
1. закон сохранения импульса:
m * v + m2 * 0 = m * v1 + m2 * v2,
где v1 и v2 — скорости шариков после удара.
2. закон сохранения энергии:
(1/2) * m * v^2 + (1/2) * m2 * 0^2 = (1/2) * m * v1^2 + (1/2) * m2 * v2^2.
по условию задачи после удара шарики стали двигаться с одинаковыми по модулю скоростями, значит |v1| = |v2|. Обозначим этот модуль как V.
тогда можно записать уравнения следующим образом:
из закона сохранения импульса:
m * v = m * V + m2 * V.
Это можно упростить до
m * v = (m + m2) * V.
из закона сохранения энергии:
(1/2) * m * v^2 = (1/2) * m * V^2 + (1/2) * m2 * V^2.
упростим это уравнение:
m * v^2 = m * V^2 + m2 * V^2.
разделим на V^2 (предполагая, что V не равно 0):
m * (v^2 / V^2) = m + m2.
Теперь выразим V из первого уравнения:
V = (m * v) / (m + m2).
подставим это значение в второе уравнение:
m * (v^2 / ((m * v) / (m + m2))^2) = m + m2.
Упростим эту формулу:
m * (v^2 * (m + m2)^2) / (m^2 * v^2) = m + m2,
то есть
(m + m2)^2 / m = m + m2.
Теперь умножим обе стороны на m:
(m + m2)^2 = m * (m + m2).
раскроем скобки:
m^2 + 2*m*m2 + m2^2 = m^2 + m*m2.
переносим все в одну сторону:
m2^2 + m*m2 = 0.
факторизуем:
m2(m2 + m) = 0.
это уравнение имеет два корня: m2 = 0 или m2 + m = 0. Поскольку масса не может быть отрицательной, мы принимаем только первый корень:
m2 = 0 — что невозможно, так как второй шарик существует.
Поэтому:
м2 = m (массы равны).
а) Шарики после удара будут двигаться в одном направлении, поскольку их скорости равны и положительны.
б) для нахождения модуля скорости V подставляем m2 = m:
V = (m * v) / (m + m) = (m * v) / (2m) = v / 2.
ответ:
б) модуль скорости каждого шарика после столкновения равен v/2.
в) масса покоившегося вначале шарика равна массе движущегося шарика, то есть m.
ответ:
в) масса покоившегося шарика равна m.