Дано:
- масса шарика m (кг)
- ускорение свободного падения g = 9,81 м/с²
Найти:
1. Угол θ между нитью и вертикалью, при котором сила натяжения нити T будет равна mg.
Решение:
1. Рассмотрим силы, действующие на шарик в момент, когда он отклонён под углом θ. На шарик действуют две силы: сила тяжести mg направлена вниз и сила натяжения T направлена по нити.
2. Разложим силу натяжения T на две компоненты:
- вертикальная componente: T * cos(θ)
- горизонтальная componente: T * sin(θ)
3. В вертикальном направлении у нас есть равновесие сил, так как сумма сил должна быть равна нулю:
T * cos(θ) = mg.
4. В горизонтальном направлении также нужно учесть, что сила натяжения создает центростремительное ускорение для шарика, который движется по круговой траектории:
T * sin(θ) = m * a_c,
где a_c = v² / L, а L – длина нити.
5. По закону сохранения энергии, когда шарик отпускают из горизонтального положения, вся потенциальная энергия превращается в кинетическую:
mgL = (1/2)mv².
6. Отсюда выразим скорость v:
v² = 2gL.
7. Подставим это значение в уравнение для горизонтальной компоненты:
T * sin(θ) = m * (v² / L) = m * (2gL / L) = 2mg.
8. У нас теперь есть система уравнений:
1) T * cos(θ) = mg,
2) T * sin(θ) = 2mg.
9. Разделим второе уравнение на первое:
(T * sin(θ)) / (T * cos(θ)) = (2mg) / (mg),
tan(θ) = 2.
10. Выразим угол θ:
θ = arctan(2).
Ответ:
Угол между нитью и вертикалью, при котором сила натяжения нити будет равна mg, равен θ = arctan(2).