Дано:
- масса бруска M
- радиус полусферы R
- масса шайбы m
Найти:
1. кинетическую энергию бруска K в момент, когда шайба проходит нижнюю точку выемки.
Решение:
1. Сначала найдем скорость шайбы v в нижней точке выемки. Шайба начинает движение с высоты h = R и теряет потенциальную энергию, которая переходит в кинетическую.
2. Потенциальная энергия шайбы на верхней позиции:
PE_initial = mgh = mgR.
3. В нижней точке вся потенциальная энергия превращается в кинетическую:
KE_shayba = (1/2)mv^2.
4. По закону сохранения энергии:
mgh = (1/2)mv^2,
mgR = (1/2)mv^2.
5. Упростим уравнение, сократив массу m:
gR = (1/2)v^2.
6. Выразим скорость v:
v^2 = 2gR,
v = sqrt(2gR).
7. Теперь найдем импульс шайбы перед ударом о брусок. Импульс I шайбы:
I = mv.
8. После того, как шайба достигнет нижней точки, она столкнется с бруском. Поскольку брусок находится на гладком столе и может двигаться, применим закон сохранения импульса.
9. Общий импульс до удара равен:
I_initial = mv.
После удара общий импульс будет:
I_final = (M + m)V,
где V - скорость системы после удара.
10. По закону сохранения импульса:
mv = (M + m)V.
11. Выразим V:
V = mv / (M + m).
12. Найдем кинетическую энергию бруска K:
K = (1/2)MV^2.
13. Подставим значение V:
K = (1/2)M(mv / (M + m))^2.
14. Упростим K:
K = (1/2)M(m^2 * (2gR) / (M + m)^2).
15. Теперь выразим K через известные значения:
K = (m^2 * gR * M) / (M + m)^2.
Ответ:
Кинетическая энергия бруска в момент, когда шайба проходит нижнюю точку выемки, равна (m^2 * gR * M) / (M + m)^2.