Дано:
- масса бруска M
- радиус выемки R
- масса шайбы m
Найти:
Проекция v скорости шайбы на ось x в момент, когда она второй раз проходит нижнюю точку выемки.
Решение:
1. При отпускании шайба начинает двигаться под действием силы тяжести. В начальный момент находится на высоте h = R.
2. Применим закон сохранения механической энергии для шайбы. Поскольку шайба начинает движение с высоты R, потенциальная энергия будет преобразована в кинетическую энергию в нижней точке:
PE_initial = m * g * R,
KE_final = (1/2) * m * v².
3. Находим скорость шайбы в нижней точке выемки:
m * g * R = (1/2) * m * v².
4. Упростим уравнение, сократив массу шайбы:
g * R = (1/2) * v²,
v² = 2 * g * R,
v = sqrt(2 * g * R).
5. Теперь рассмотрим движение шайбы по полусфере. Когда шайба проходит нижнюю точку первый раз, она движется в горизонтальном направлении. Но когда она достигнет верхней точки, момент столкновения с бруском будет приводить к изменению направления движения.
6. После первого прохождения шайба будет возвращаться обратно. Так как поверхность бруска гладкая, то шайба будет продолжать движение без потерь энергии.
7. При втором прохождении шайба снова будет иметь ту же скорость, которая была у неё на первом проходе.
8. Проекция скорости шара на ось x в момент второго прохождения нижней точки также будет равна:
v_x = v = sqrt(2 * g * R).
Ответ:
Проекция скорости шайбы на ось x в момент, когда она второй раз проходит нижнюю точку выемки, равна sqrt(2 * g * R).