Дано:
- Заряды в вершинах квадрата: q (одинаковые для всех вершин)
- Длина стороны квадрата: a (в метрах)
- Нахождение заряда Q в центре квадрата
Найти:
- Значение заряда Q, необходимое для равновесия системы зарядов
- Устойчивость равновесия
Решение:
1. Определим силу взаимодействия между зарядами. Сила, действующая между двумя точечными зарядами, описывается законом Кулона:
F = k * |q1 * q2| / r^2,
где k = 8.99 * 10^9 Н·м²/Кл², r - расстояние между зарядами.
2. Для заряда Q в центре квадрата, расстояние до каждого заряда на вершинах:
r = a / √2.
3. Сила F, действующая между зарядом q и зарядом Q:
F_qQ = k * |q * Q| / (a/√2)²
= k * |q * Q| / (a²/2)
= 2k * |q * Q| / a².
4. Заряд Q создает отталкивающую или притягивающую силу на каждый из зарядов q. Чтобы система была в равновесии, сумма сил, действующих на каждый заряд q, должна быть равна нулю.
5. Сила, действующая на заряд q из-за других трех зарядов q, находящихся в вершинах квадрата, будет направлена к центру квадрата, так как все заряды q одинаковы. Эта сила будет равна:
F_total = 3 * F_q,
где F_q - сила между двумя зарядами q.
6. Рассчитаем силу F_q:
F_q = k * |q * q| / a².
7. Теперь подставим это значение в выражение для F_total:
F_total = 3 * k * |q * q| / a².
8. Условия равновесия:
F_total = F_qQ.
Подставляем:
3 * k * |q * q| / a² = 2k * |q * Q| / a².
9. Упростим уравнение, сократив k и a²:
3 |q| = 2 |Q|.
10. Найдем заряд Q:
|Q| = (3/2) |q|.
11. Устойчивость равновесия:
Чтобы равновесие было устойчивым, заряд Q должен иметь противоположный знак по сравнению с зарядом q, так как при небольшом отклонении от положения равновесия сила должна направляться обратно к равновесию.
Таким образом, если q положительный, то Q должен быть отрицательным (и наоборот).
Ответ:
Заряд Q в центре квадрата должен быть равен 1.5 * |q| (в противоположном знаке для устойчивого равновесия).