Дано:
вектор a = {5; 5}, вектор b = {4; 0}.
Найти:
1) скалярное произведение векторов a и b;
2) абсолютную величину векторов a и b;
3) угол между векторами a и b.
Решение:
1) Скалярное произведение векторов a и b вычисляется по формуле:
a · b = a1 * b1 + a2 * b2.
Подставляем значения:
a · b = 5 * 4 + 5 * 0 = 20 + 0 = 20.
2) Абсолютная величина (длина) вектора вычисляется по формуле:
|a| = sqrt(a1^2 + a2^2).
Для вектора a:
|a| = sqrt(5^2 + 5^2) = sqrt(25 + 25) = sqrt(50) = 5√2.
Теперь для вектора b:
|b| = sqrt(4^2 + 0^2) = sqrt(16 + 0) = sqrt(16) = 4.
3) Угол между векторами a и b можно найти с помощью следующей формулы:
cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|).
Подставим известные значения:
cos(θ) = 20 / (5√2 * 4) = 20 / (20√2) = 1/√2.
Теперь найдем угол θ, используя арккосинус:
θ = arccos(1/√2).
Угол θ равен 45°.
Проверка:
Отложим векторы a и b от начала координат. Вектор a направлен под углом 45° к осям, а вектор b расположен вдоль оси X. Они образуют угол 45°, что подтверждает полученные результаты.
Ответ:
1) Скалярное произведение векторов a и b равно 20.
2) Абсолютная величина вектора a равна 5√2, вектора b равна 4.
3) Угол между векторами a и b равен 45°.