дано:
диаметр АВ = D,
хорда АС = 12 см,
хорда ВС = 9 см.
найти:
длину окружности L и площадь круга S.
решение:
1. Для нахождения радиуса R окружности воспользуемся формулой для длины хорды:
c = 2R * sin(θ/2),
где c — длина хорды, R — радиус, θ — центральный угол, соответствующий данной хорде.
2. Обозначим радиус R, а диаметр D = 2R.
3. Для хорды АС = 12 см:
12 = 2R * sin(α/2),
где α — центральный угол, соответствующий хордe АС.
4. Для хорды ВС = 9 см:
9 = 2R * sin(β/2),
где β — центральный угол, соответствующий хордe ВС.
5. Угол между хордами АС и ВС равен 180° - (α + β), так как они расположены на одной окружности.
6. Для нахождения радиуса используем теорему о равенстве отрезков:
R = √(h^2 + (c/2)^2),
где h — расстояние от центра окружности до хорды, c — длина хорды.
7. Найдем h через радиусы для каждой хорды:
h1 = √(R^2 - (12/2)^2) = √(R^2 - 36),
h2 = √(R^2 - (9/2)^2) = √(R^2 - 20.25).
8. Из этих двух уравнений можно получить систему, чтобы выразить R. Найдем R через уравнения:
h1 = h2,
√(R^2 - 36) = √(R^2 - 20.25).
9. Квадратируем обе стороны:
R^2 - 36 = R^2 - 20.25,
-36 = -20.25,
15.75 = R^2,
R = √15.75 ≈ 3.97 см.
10. Найдем длину окружности L:
L = 2πR = 2π * 3.97 ≈ 24.92 см.
11. Найдем площадь круга S:
S = πR^2 ≈ π * 15.75 ≈ 49.50 см².
ответ:
длина окружности ≈ 24.92 см,
площадь круга ≈ 49.50 см².